평행이동

(1) 평행이동

평행이동이란 평면상에서 점이나 그래프를 이동시키는데

그 물체를 회전하지 않고 x축과 y축에 평행하게만 이동시키는 것을 평행이동이라고 합니다.

평행이동은 점의 평행이동과 그래프(도형)의 평행이동으로 나뉩니다.

 

 

 

  (1) 점의 평행이동

만약 점 (1, 2)를 x축 방향으로 2만큼, y축으로 -3만큼 평행이동하라고 한다면, 말 그대로 x성분, y성분에 평행이동하는 만큼 각각 추가시켜주면 됩니다.

(1 , 2)를 x축방향으로 2만큼, y축방향으로 -3만큼이므로 (3 , -1)이 되는 것이죠.

 

즉, 점의 평행이동은 있는 그대로 자연스럽게 이동하는 만큼 x, y성분에 추가해주면 됩니다.

 

 

  (2) 그래프의 평행이동

만약 눈 앞에 맛있는 도넛이 있는데 도넛을 오른쪽으로 10센치 이동시켜 놓았다고 도넛의 크기가 변하거나 가운데 뚫려있던 구멍이 막히거나 하지 않고

모양은 그대로 유지된 채 전체가 다 이동되잖아요?

그것과 마찬가지로 그래프(도형)이 이동한다는 것은 어느 특정한 부위만 이동하는 것이아니라 그래프 전체가 이동하며 모양이 변하지 않습니다.

 

그렇다면 원을 평행이동시킨다고 해봅시다.

원을 이동시키면 반지름은 변하지 않으며 원의 중심도 원이 이동한 만큼 이동하게 됩니다.

 

 

그런데 원의 중심과 반지름만 알면 원의 방정식을 세우는 것은 식은 죽 먹기이므로,

앞서 배운 점의 평행이동을 이용하여 그래프의 평행이동을 해보고 그의 방정식을 그려서 방정식의 전과 후를 비교해 볼까요.

 

일단

(x+1)² + (y-2)² = 4 라는 원이 있다고 해봐요. 이 원은 중심이 ( -1 , 2 )인 원이죠?

이 원을  x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 3만큼 평행이동 시켜보도록 해요.

원이 이동하면 원의 중심도 이동하므로

원의 중심을 ( -1 , 2 )에서 x:-2, y:3 만큼 평행이동시키면 ( -3 , 5 )으로 평행이동하게 됩니다.

반지름은 변하지 않으므로 중심이 ( -3 , 5 )이고 반지름이 2인 원의 방정식을 구하면

(x+3)² + (y-5)² = 4가 됩니다.

 

이것을 잘 보면 x+1가 x+3이 되었고, y-2가 y-5가 되었지요?

즉, x방향으로 -2만큼 이동했는데 x는 2만큼 커졌고,

y방향으로 3만큼 이동했는데 y는 3만큼 줄어들었습니다.

이것은 (x+1)² + (y-2)² = 4의 x에 x+2를 대입하고, y에 x-3을 대입한것과 같습니다.

 

즉!!

그래프를 x축방향으로 a만큼, y축방향으로 b만큼 이동했을 때,

반대로 부호를 바꾸어서 방정식의 x값에 x-a, y값에 y-b를 대입하면 평행이동으로 옮겨진 그래프의 방정식을 얻을 수 있다는 것입니다.  

 

 

 예제) (로그를 모르면 넘어가도 좋습니다.)

 

[출처] 제4장 평행이동과 대칭이동 - (1) 평행이동|작성자 SperoSpera