점
※ 전에 관해서 두 점의 사이의 거리, 중점/무게중심, 내분점/외분점 이 세가지를 알아야 합니다.
1. 두 점 사이의 거리
거리란 공간적으로 떨어진 길이를 의미합니다.
즉, 두 점 사이의 거리란 어떤 두 점 사이에 떨어진 길이를 뜻합니다.
예를 들어, 아래의 그림과 같이 수직선상에서 A가 1의 위치에 있고, B가 5에 위치해 있으면
A와 B의 떨어진 거리는 4입니다. 쉽죠 ? ㅋ
수직선상에서 어쨌거나..
중요한 건, 좌표평면에서의 두 점 사이의 거리를 구하는 것입니다. (기하와 벡터에서는 좌표공간에서의 두 점 사이의 거리도 구합니다.)
수직선에서처럼 그렇게 간단하게 만큼은 거리를 구할 수 없습니다.
좌표가 주어져있지 않어서 그럴까요. 아뇨, 두 점의 좌표를 주어도 마찬가지입니다.
직접 구해보시면 알겠지만 처음 배우는 사람은 '자'를 이용하지 않는 한 수직선처럼 간단히 구하기는 어려울 겁니다.
그럼 어떻게 구해야할까요
1. 두 점의 x좌표의 차이를 구합니다.
2. 두 점의 y좌표 차이를 구합니다.
3. 이 길이는 두 점을 이용해 삼각형을 그었을 때, 각 길이는 삼각형의 높이와 밑변에 해당합니다.
4. 피타고라스의 법칙을 이용해 빗변을 구한다. 그 빗변은 두 점 사이의 길이가 됩니다.
위의 경우에는 √13이 됩니다.
즉, x좌표차이와 y좌표 차이를 피타고라스 공식을 이용해 각각 제곱해서 루트에 씌우면 두 점 사이의 길이가 된다는 것입니다./
정리하자면
2. 중점의 좌표
중점(中點:중간, 점)이란 무엇일까요?
말그대로 중간에 있는 점입니다.
주로 두 점사이의 중점이나 선분의 중점을 구하게 될텐데요.
두 점을 이은 선분의 중점이나, 두 점 자체의 중점이나 결국 같은 개념입니다.
![](http://postfiles12.naver.net/20130811_203/junhyuk7272_1376228843646r0qh5_PNG/%C1%DF%C1%A1.png?type=w1)
그렇다면 중점의 '좌표'는 어떻게 구할까요?
일단 수직선에서 봅시다.
![](http://postfiles11.naver.net/20130811_138/junhyuk7272_1376229167426xeCR1_PNG/%C1%DF%C1%A11.png?type=w1)
위 처럼 일단 두 점의 거리를 구한 후 그 절반만큼 적은쪽의 점에서 더하거나 큰쪽의 점에서 빼서 구하는 방법도 있겠으나
그냥 두 점사이의 좌표의 평균을 구해주면 됩니다. ㅎㅎ
즉, 점 A의 좌표인 1과 점 B의 좌표인 5의 평균을 구해주면 중점의 좌표는 3임을 알 수 있지요.
좌표평면에서도 똑같습니다.
x좌표끼리 평균을 구해주고, y좌표 평균을 구해주면 그것이 중점의 좌표가 됩니다.
![](http://postfiles9.naver.net/20130811_120/junhyuk7272_1376230048777PaSlJ_PNG/%C1%DF%C1%A12.png?type=w1)
위의 그래프에서 A와 B의 x좌표는 각각 1과 5이므로 A, B의 x의 중점은 그의 평균인 3이고
y좌표는 차례대로 1, 3이므로 평균(중점)을 구하면 2가 되지요.
따라서 중점의 x좌표=3, 중점의 y좌표=2이므로
중점은 (3, 2)라고 할 수 있습니다.
세 점의 중점은 구할 수 있을까요?
똑같습니다.
특별히, 세 점의 중점을 '무게중심'이라고 하는데 이것역시 세점의 x좌표와 y좌표끼리 평균을 구해주면 중점의 좌표를 구할 수 있습니다...
예를 들어, 세 점 A(1,2), B(2,3), C(3,4)의 무게중심을 구하라고 한다면
각 점의 x좌표끼리의 평균과 y좌표끼리의 평균을 구해주면되므로
x좌표인 1, 2, 3의 평균은 2가 될것이고...
y좌표인 2, 3, 4의 평균은 3이 되므로
A, B, C의 무게종심은 (2, 3)이 되는것이죠.
* 혹시나 하는 마음에..
평균 : 대표값을 나타내는 방법중 하나로.. 모든 대상을 더한 후 더한 대상의 개수로 나눠주는 것이다.
예를 들어, 10, 20, 30이라는 세가지 숫자의 평균을 구하면 모든 대상인 세 숫자를 더한 후, 더한 대상의 개수인 3으로 나눠주면 되는 것이다.(평균은 20)
3. 내분점과 외분점
내분(內分, Interal Division)과 외분(外分, External Division)은 선분을 나눌 때 쓰는 수학적 용어입니다.
어떤 식으로 선분을 나누냐면 1:2나 3:2 등과 같이 비율로 선분을 나누게 됩니다.
그리고 그렇게 나눠지게 하는 점을 내분점, 외분점이라고 합니다.
![](http://postfiles9.naver.net/20130813_136/junhyuk7272_1376399010198fwLUc_PNG/%B3%BB%BA%D0%C1%A1.png?type=w1)
한가지 알아둬야 할것은 선분AB와 선분 BA는 분명 같은 선분이지만 내분이나 외분할 때의 방향은 다르다는 사실입니다.
이건 무슨소리냐! 선분AB를 내분하는것과 선분BA를 내분하는 것은 서로 다르다는 것입니다.
선분AB를 1:2로 내분하는 것은 아래에도 있지만 A방향에서 B방향으로 1:2를 내분하는 것이며
선분BA를 1:2로 내분하는 것은 B에서 A방향으로 1:2를 내분하는 것입니다.
![](http://postfiles14.naver.net/20130813_77/junhyuk7272_13764033405011UbfT_PNG/%B3%BB%BA%D0%C1%A12.png?type=w1)
외분에 대해서도 알아보겠습니다.
일단, 만약 선분AB를 1:2로 내분한다면, 우리는 선분 내부의 한 점을 경유하면서 1:2로 나누어야합니다.
반면에 선분AB를 1:2로 외분한다고 한다면 선분 내부를 경유하는 것이 아니라..
외분점은 항상 선분AB에서 벗어난, 선분AB의 연장선의 위를 1:2를 만족하며 경유하게 됩니다.
아래와 같이 말이지요.
![](http://postfiles14.naver.net/20130813_237/junhyuk7272_1376404502228Lt97B_PNG/%BF%DC%BA%D0%C1%A11.png?type=w1)
즉, 내분점은 항상 내분하는 선분 위에 존재하게 되는데, 외분점은 선분 위에 존재하지 않고 선분 바깥에 선분의 연장선을 그었을 때, 그 연장선상에 존재하게 됩니다.
이제부터 할 부분이 어렵게 느껴질 수도 있지만
내분점, 외분점의 공식은 반드시 외워야 합니다.
일단 공식이 어떻게 나왔는지 보여드리도록 하겠습니다.
![](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/8/13/hkb8546lhx1xys.jpg)
![](http://postfiles4.naver.net/20130813_211/junhyuk7272_1376405294536WuOj3_PNG/%B3%BB%BA%D0%C1%A13.png?type=w1)
![](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/8/13/hkb8idy9vqpp8l.jpg)
신기하게 나온다. 선분AB를 m:n으로 내분하면
분모는 m+n, 분자는 m+n인데 m의 계수는 b, n의 계수는 a이다.
더 신기한 것은 외분점의 좌표는 앞에서 구한 내분점의 좌표에서 +기호를 -기호로 바꾸기만 하면 된다는 것이다.
또한, 수직선 상이 아니라 좌표평면에서도 성분이 늘어났을 뿐이지 결국 똑같은 공식이 나온다.
그러므로, 아래의 공식을 외우길 바랍니다..
1. m : n으로 내분하는 점 P(x, y)의 좌표는
![](http://dbscthumb.phinf.naver.net/0903_000_3/20120417173207137_TNQFJH4AI.jpg/cd1_43_f1.jpg?type=w492_1)
![](http://dbscthumb.phinf.naver.net/0903_000_3/20120417173240655_R53NS3BY9.jpg/cd1_43_f3.jpg?type=w492_1)
m≠n이라는 소리는 선분을 1:1로 외분이 불가능하다는 소리이다. 실제로도 1:1로 외분하려고 해도 불가능하다. 별이야기 아니니 그렇다고 알고 넘어가시길 바랍니다. 외분점 내분점에서는 내분점 외분점이 무엇인지 확실히 알고 그릴수 있어야 하며 좌표를 구하는 공식도 외워야 합니다.
[출처] 제3장 점과 원 - (1) 점|작성자 SperoSpera
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