경우의수
1. 합의법칙과 곱의 법칙
이 경우의 수 파트는 '동시에'와 '또는'이라는 용어가 많이 사용되는데 이 용어들의 의미가 매우 많이 중요합니다.
아래서 계속 강조할테니 동시에의 느낌과 또는의 느낌을 완벽히 숙달하시길 바라겠습니다!
(1) 동시에 ('and')
'동시에'란 무조건 같은 시간에 일어나는게 아니에요.
예를 들어, "나는 밖에서는 선생님인 동시에 집에서는 아들이다."라고 할 때, '동시에' 선생님이고 아들이라고 해서 아들역할을 하면서 선생님역할을 한꺼번에 한다는 소리는 아니잖아요? 그저 현재 선생님이기도 하고 아들이기도 한것일 뿐이죠.
비유가 와닿지 않은것 같기도 한데요.
다시 말하자면 수학에서 쓰는 '동시에'는 같은 시간에 전부 다한다고 보기보단 '이것도 하고 저것도 한다'라고 기억하는게 좋다는 소리입니다.
즉, A이고 동시에 B를 한다면
A와 B를 같은 시간에 하는게 아니라, A와 B가 어떤게 먼저 일어나던 순서는 상관없이 A와 B를 모두 한다는 것입니다!
이번엔
집합으로 예를 들어볼게요.
A는 인터넷 기사를 보는 사람의 집합이고, B를 신문을 보는 사람의 집합이라면
인터넷 기사도 보고 동시에 신문도 보는 사람은 신문을 들고 동시에 인터넷기사 본다는 것이 아니라
신문도 보고 그리고 인터넷 기사도 본다는 것입니다.
아시겠나요? ^^
자꾸 강조해서 미안하지만!
'동시에'란 수학적으로 '같은 시간에'(X)가 아닌 '이것, 저것도 모두 한다.'(O)에 의미에 가깝습니다.
한가지 팁을 더 드리자면 '동시에'는 '그리고(~고)'와 맥락상 바꿔 쓸 수 있습니다.
예를 들어, "나는 선생인 동시에 자랑스런 대한민국 국민이다."는 "나는 선생이고 (그리고) 자랑스런 대한민국 국민이다."
즉, 아래와 같이 바꿔 쓸 수 있다는 것입니다.
동시에 ⇔ 그리고
그리고 ⇔ 동시에
꽃, 그리고 꽃병을 샀다. ⇔ 꽃과 동시에 꽃병을 샀다.
꽃과 꽃병을 샀다. ⇔ 꽃과 동시에 꽃병을 샀다.
밥도 먹고 게임도 했다. ⇔ 밥먹는 동시에 게임도 했다.
하나님은 세상과 동시에 사람을 만들었다. ⇔ 하나님은 사람과 세상을 만들었다.
오케바리?
'동시에'라는 개념을 몸속 깊숙이 인지하고 계시기를 바랍니다!
(2) '또는' ('or')
'또는'의 의미는 일상적으로 많이 쓰이는 그 의미와 비슷합니다.
다만 '또는'은 '동시에'의 의미를 포함하고 있습니다.
가령 "니가 바보이거나 내가 바보이거나"라는 표현은 국어에서는 '나'와 '너' 둘 중에 바보라는 소리이지만
수학적으로는 '나'와 '너' 둘 중 하나만 바보일 수도 있지만 둘 다 바보일 수도 있는 것을 포함하고 있습니다.
그러니까 만약 여러분들의 삼촌이 "지갑에서 세종대왕(?)이나 신사임당(?)을 꺼내가라."라고 했으면 세종대왕(만원)과 신사임당(5만원) 중 1개만 가져가도 되지만 둘 다 가져가도 된다는 의미입니다. ㅋㅋ
세상의 모든 삼촌에게 " 화이팅!! "
..
수학적으로 설명할게요.
" (A-2)(B-1)=0 "를 풀면 A=2 또는 B=1 잖아요?
이 (A-2)(B-1)=0의 근이 A=2 또는 B=1이라는게 A=2라면 B값에 관계없이 무조건 (A-2)(B-1)=0를 만족하고, 또, B=1이여도 A의 값에 관계없이 (A-2)(B-1)=0을 만족한다는 거잖아요?
그런데 A=2인 동시에 B=1라면 어떻게 될까요?
당연히 성립합니다. 원식 (A-2)(B-1)=0에 A=2, B=1을 대입해보세요. (2-2)(1-1)=0이 되는데 0×0=0이 되잖아요? 0곱하기 0을 당연히 0이니까 성립하는게 당연하죠.
이해가시죠. 안가시면 댓글 ㄱㄱ
(3) 곱의 법칙과 합의 법칙
그런데 ! !
만약 주사위하고 동전을 동시에 던지라고 한다면, 주사위와 동전을 같은 순간에 슈악! 하고 한꺼번에 던지란 소리가 아니라 ㅋ
주사위도 던지고 동전을 모두 던진다는것을 의미해요. 아시죠? 어떤 것을 먼저 던지던 상관없고 모두 다 던지기만 하면 되는건데요.
우리가 초등학교 때, 1에서 6까지 쓰여있는 주사위와 앞과 뒷면이 있는 동전을 던졌을 때, 나오는 모든 경우의 수를 구하라고한다면
아래와 같이 직접 세었죠?
(앞, 1) (뒤, 1)
(앞, 2) (뒤, 2)
(앞, 3) (뒤, 3)
(앞, 4) (뒤, 4)
(앞, 5) (뒤, 5)
(앞, 6) (뒤, 6)
이렇게 총 12개잖아요?
그런데 고교과정에서는 곱의 법칙, 합의 법칙이라는 혁명적인(?) 사건이 발생하게 되서
저렇게 일일이 경우의 수를 세지 않고도 경우의 수를 구할 수 있게 됩니다.
교과서에서는 이렇게 나와있지요.
A와 B라는 사건이 있다면,
곱의 법칙이란 사건 A, B가 동시에 일어날 때는 각 사건이 일어날 경우의 수끼리 곱하는 것을 의미하고
합의 법칙이란 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때는 각 사건이 일어날 경우의 수를 더하는 것을 의미한다고 되어있거든요?
그런에 이렇게 외우면 너무 길어지니까
아래와 같이 기억합시다!
──────────────────────────────────────────
동시에 일어날 때에는 곱한다. (곱의 법칙)
동시에 일어나지 않을 때는 더한다. (합의 법칙)
──────────────────────────────────────────
이게 무슨소린지 감이 잘 안올것 같아서 문제를 통해 알려드릴게요.
예제> 각 면에 1부터 6까지 숫자가 하나씩 적혀있는 정사면체와 앞면과 뒷면의 구별이 가능한 동전이 있다.
이 주사위와 동전을 동시에 던질 때, 주사위의 윗면에 나오는 숫자와 동전 윗면에 나오는 면을 이용하여 나오는 모든 경우의 수를 구해보도록 하자.(동전이 세로로 서는 경우는 없다고 생각한다.)
[풀이]
이렇게 직접 센다면
(앞, 1) (뒤, 1)
(앞, 2) (뒤, 2)
(앞, 3) (뒤, 3)
(앞, 4) (뒤, 4)
(앞, 5) (뒤, 5)
(앞, 6) (뒤, 6)
이렇게 12가지가 나옵니다.
그런데 곱의 법칙을 사용해 보도록 하면!
주사위도 던지고 동시에!! 동전도 던져야 하므로,
주사위를 던져서 나오는 숫자의 경우의 수인 6과 동전을 전져서 나오는 경우의 수인 2를 곱해서 12라는 경우의 수를 구하게 되는거죠.
또다른 문제를 풀어볼까요.
예제> 영수의 옷장에는 한복과 양복이 아래의 표와 같이 있다고 한다.
|
한복 |
양복 | ||
|
상의 |
하의 |
상의 |
하의 |
|
2벌 |
3벌 |
1벌 |
4벌 |
영수가 옷을 입는 경우의 수를 구하여라.
(단, 한복과 양복을 같이 입거나, 아무것도 입지 않고 있을 수는 없다.)
[풀이]
문제는 영수가 옷을 입는 경우의 수를 구하는 거죠?
먼저, 한복과 양복을 같이 입을 수 없다고 했으니 ( 한복 상의와 양복 하의 이렇게 같이 입지 말라는 소리입니다. )
양복을 입을까, 한복을 입을까 정해야겠죠? 양복을 입어도 옷을 입는 것이고, 한복을 입어도 옷을 입는것이죠 ^^
i) 한복을 입는다고 할 때, 옷을 입는 경우의 수를 구해보면
상의 2벌과 하의 3벌을 입어야 하므로 ( ⇔ 상의 2벌과 동시에 하의 3벌을 입어야 하므로 )
2 × 3 = 6이므로 한복을 입는 경우의 수는 6가지입니다.
ii) 양복을 입는다고 할 때, 옷을 입는 경우의 수를 구해보면
상의 1벌과 하의 4벌을 입어야 하므로 ( ⇔ 상의 1벌과 동시에 하의 4벌을 입어야 하므로 )
1 × 4 = 4이므로 양복을 입는 경우의 수는 4가지입니다.
한복을 입고 양복을 입을 수는 없죠? 문제에서 그럴 수 없다고 가정했으니 불가능합니다.
즉, 한복을 입고 동시에 한복을 입을 수 없다는 뜻이므로
합의 법칙에 따라 한복을 입는 경우의 수와 양복을 입는 경우의 수를 더하면 10이 나오는데
10가지가 옷을 입는 경우의 수가 됩니다.
이제 합의 법칙과 곱의 법칙을 언제 쓰는지 감이 오시나요?
곱의 법칙은 위의 문제에서 상의와 하의를 모두 다 입어야 일이 완성되잖아요? 그럴 때, 동시에 일어날 때! 곱하는 느낌이고
합의 법칙은 동시에 일어날 수 없을 때, 이렇게 해도 일이 완성이 되고, 저렇게 해도 일이 완성이 되는 느낌이 들 때, 분류해서 푼다음 마지막에 더하는 느낌이지요!
위의 문제에서는 보면 한복과 양복을 동시에 입을 수 없으면서, 한복을 입어도 되고, 양복을 입어도 일이 완성이 되기 때문에, 한복을 입는 경우의 수와 양복을 입는 경우의 수를 따로 각각 구해서 더한것이 합의 법칙이지요.
이해가 가셨나요..
다른 문제를 더 많이 풀으셔서 합의 법칙과 곱의 법칙의 느낌을 완벽하게 체화하시기를 바랍니다.
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[출처] 16장 - 경우의 수|작성자 SperoSpera