집합

(1) 집합

    1. 집합의 의미

집합은 일반적으로 어떤 것을 한곳으로 모아놓은 무리를 의미합니다.

예를 들어, 과자의 집합이라면 전 세계 모든 과자를 전부모아 놓은 것들을 과자의 집합이라고 합니다.

또, 가수의 집합은 세계 모든 가수를 모아놓은 집단을 가수의 집합이라고 말할 수 있겠죠.

 

수학에서도 마찬가지로 비슷한 의미를 가지는데, 수학에서 집합은 주어진 규칙이나 조건에 부합한 것들의 모임을 뜻합니다.

예를 들어, 1보다 크고 4보다 작거나 같은 자연수의 집합은 2, 3, 4의 집합이 되겠죠.

이 때, 각각의 구성원인 2, 3, 4을 그 집합의 원소 또는 요소라고 표현합니다.

 

    2. 집합의 표기

집합은 해당하는 원소를 모두 나열하고 그 원소들을 중괄호로 묶어서 나타냅니다.

예를 들어, {a, b, c, d}라는 것은 a, b, c, d를 원소로 가지는 집합을 의미합니다. 또, {1, 3, 5}라는 것은 1, 3, 5를 원소로 가지는 집합을 의미하죠.

이렇게 원소를 전부 중괄호에 나열하여 표현하는방법을 원소나열법이라고 합니다.

 

그런데 자연수의 집합을 나타내려면, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ··· }이렇게 표현해야 하는데 이러면 한없이 길어지기 때문에

이럴경우엔 차라리 그 원소를 설명하는 '조건'을 나타내주어 해당하는 원소를 표현하는 것이 더 편합니다.

그래서 생각해낸 집합의 표시방법을 조건제시법이라고 하는데요.. 하는 방법은 아래와 같습니다.

{ x | x는 자연수} → 자연수x가 이 집합의 원소

{ a | a는 홀수 } → 홀수 a가 이 집합의 원소

{ x | x는 1보다 크고 4보다 작거나 같은 수 } = { x | 2＜x≤4 }

 

 

※ 참고

집합을 알파벳으로 표시할 때에는 대문자 A, B, C 순서대로 하는 것이 관례이다.

EX) A={x|x는 짝수이면서 5보다 큰 수}, B={x|x는 6보다 큰 소수}... 이렇게 대문자 ABC순으로 이름을 정하는 경우가 많다.

그리고 임의의 원소들은 소문자로 abc순으로 정하는것이 관례다.

 

 

    3. 포함관계

ㄱ. 집합과 원소의 포함관계

집합 A = {a, b, c, d}일 때, 원소 a는 집합 A에 포함된다라는 것을 기호로 a∈A라고 표현합니다.

원소 b가 집합A에 포함된다는 것은 b∈A라고 표현이 가능하겠지요.

즉, 집합과 원소와의 포함관계는 삼지창 즉, ∈ / ∋ 이것들로 표현한다는 것입니다.

 

ㄴ. 집합과 집합의 포함관계

집합A={a, b, c, d}, 집합B=(b, d)일 때, 집합 B는 집합 A에 포함된다고 할 수 있겠지요. 이것을 B⊂A라고 표현합니다.

집합C도 만약 A에 포함된다면 C⊂A라고 표현할 수 있겠지요.

즉, 집합과 집합끼리의 포함관계는 삼지창이 아닌 이지창(?) ⊂ / ⊃ 으로 표현합니다.

그리고 집합 B는 집합 A의 일부분이기 때문에 집합B를 집합A의 부분집합이라고도 합니다.

그리고 {b, d} ⊂ A 이렇게 표현도 가능합니다. 왜냐하면 {b, d}는 b와 d를 원소로 가지는 집합이고, 집합끼리는 삼지창이아니라 이지창(?)으로 표현하니까요.

 

 

 

 

 

※ 벤다이어그램 : 집합과 그에 포함된 원소를 그림으로 표현하는 것으로 벤이라는 사람이 고안함.

 

 

[출처] 제1장 집합과 명제Ⅰ - (1) 집합 1/2|작성자 SperoSpera