[고1 수학] 사선식(신발끈 공식, 구두끈 공식)증명
고1 수학 사선식에 대해서 알아보자.
고1 수학 평면 좌표의 활용에서 나오는 사선식은 좌표평면에서 삼각형의 세 꼭짓점을 알 때, 그 삼각형의 넓이를 구하는 공식으로 세 점이
일 때, 삼각형의 넓이 S는
가 되는 것을 말한다.
이 식을 사선식, 신발끈 공식, 구두끈 공식 등으로 부르는 것은 다음과 같은 그림으로 알 수 있다.
우선 빨간 선으로 연결된 것들끼리 곱해서 더한 후 파란 선으로 연결된 것들끼리 곱해서 빼어 주는 방식으로 계산이 되는데 마치 신발끈을 묶는것 같다 해서 위의 이름들이 생겨난 것이다.
그럼 이 공식은 어떻게 만들어진 것인지 생각해보자.
우선 삼각형의 넓이를 구하는 공식은
이다.
좌표평면에 세 점을 나타내고 생각해보자.
라 하고, 밑변을 변BC라 하고 점A에서 선분BC에 내린 수선의 발을 점H라 하면 선분AH가 높이가 된다.
여기서 필요한 것은
(1) 두 점 B, C를 지나는 직선의 방정식 구하기
(2) 점 A에서 직선 BC에 이르는 거리(점과 직선 사이의 거리)
의 두 가지 이다.
우선 두 점 B, C를 지나는 직선의 방정식을 구하면
이식을 정리하면
점 A에서 이 직선까지의 거리를 h라 하면
가 된다.
밑변의 길이는
이다.
이제 넓이를 구하면
이와 같이 증명이 가능하다.
이 식 자체를 그리 중요하게 다루지는 않으나 좌표평면에서 삼각형의 넓이를 구할 때 편하게 사용할 수 있으므로 알아두면 나쁠 것은 없다.
다만 공식만 알아두지 말고 반드시 증명하는 과정을 잘 알아두길 바란다.
특히 고1 수학에서 다루는 두 점을 지나는 직선의 방정식, 두 점 사이의 거리, 점과 직선 사이의 거리 등 도형의 방정식과 관련된 내용을 많이 포함하고 있으니 이 공식 하나만 확실히 증명을 하더라도 고1 수학에서 나오는 많은 내용들을 모두 확실하게 이해할 수 있을 것이다.