산술 및 대수적 숫자 게임

* 간단한 오락에서 난해한 문제에 이르기까지 수학적 개념이 들어간 다양한 수수께끼나 게임.

숫자의 모양과 그 신기함

자연수들을 보통의 산술과정으로 연산할 때 신기한 모양을 이루는 경우가 있다.

예를 들면 다음과 같은 것들이 있다.

1×8＋1=9 3×37=111

12×8＋2=98 6×37=222

123×8＋3=987 9×37=333

1234×8＋4=9876 12×37=444

…… ……

(1)²=1

(11)²=121

(111)²=12321

(1111)²=1234321

……

다른 재미있는 것으로 다등급(multigrade)이 있는데, 이것은 어떤 2개의 수집합이 그 원소들의 합이 같으면 각 원소들의 제곱(또는 그 이상)의 합이 같다는 것이다.

예를 들면 1ⁿ＋6ⁿ＋8ⁿ=2ⁿ＋4ⁿ＋9ⁿ (n=1 또는 2)이다. 다등급을 만드는 쉬운 방법은 간단한 등식으로부터 각 항에 같은 수를 더하는 것이며, 더 나아가 그결과의 양변을 서로 바꾼 뒤 다시 원래의 등식과 더하는 것이다. 이런 과정을 반복하면 차수가 높은 다등급을 만들 수 있다.

나르시소스 수란 그 수의 자리수(digit)를 수학적으로 조작하여 나타낼 수 있는 수이다.

153=1³＋5³＋3³과 같이 각 자리수를 n제곱 한 뒤 더하여 만들어진 정수를 완전 자리수 불변이라 하는 반면, 재귀 자리수 불변의 예로는 다음과 같은 것들이 있다.

55 : 5³＋5³=250

250 : 2³＋5³＋0³=133

133 : 1³＋3³＋3³=55

이런 자리수 불변의 변형된 형태로는 165,033=16³＋50³＋33³이 있다.

계수(計數) 문제

같은 숫자 4개를 사용해 1부터 시작하여 가능한 한 많은 정수를 표현하려는 문제이다.

그 결과는 연산규칙에 따라 다른데, 예를 들면 1을 4개 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1=1＋1/1－1

2=1＋1＋1－1

3=1＋1＋1/1

4=1＋1＋1＋1

5=(1＋1＋1)!－1

……

4를 4개 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

1=(4/4)·(4/4)

2=4/4＋4/4

3=4/4＋4/√4

4=√(4) (4)·(4/4)

5=√4+√4＋4/4

……

이 규칙을 확장시키면 더 많은 조합이 가능하다.

이런 문제들은 상당한 창의력이 요구되지만 심오한 수학이 요구되지는 않는다.

암호산술

이 용어는 1931년에 도입되어 벨기에의 잡지 〈스핑크스〉에 실렸다.

이 문제는 문자를 곱하는 과정에서 각 문자를 정화한 연산이 이루어지는 숫자 대신에 표시하는 것이다.

이것은 약간의 분석력이 요구되는데, 해답은 125×37=4,625이다.

역설과 허위

수학적 역설이란, 추론과정은 모두 옳지만 그 결론이 너무 예상밖이라서 인정하기 어려운 수학적 결론이다.

반면 수학적 허위란 명백히 틀리거나 이치에 맞지 않는 결과를 주는 그릇된 추론이다. 많은 역설은 무한의 개념과 극한 과정 때문에 발생한다. 무한급수의 수렴과 발산에서 그 예를 찾아볼 수 있다. 짝수 자연수의 개수와 자연수의 개수가 같다는 사실도 하나의 역설이다. 이른바 제논의 역설들은 정확히 말해 궤변이다.

분명히 제논은 자신이 주장한 것을 믿지 않았으며, 그는 자신의 주장에서 오류를 찾는 데 관심이 있었다. 이런 모순의 궤변 밑에 무한과 극한에 대한 미묘하고도 파악하기 힘든 개념이 있었으며, 해석학의 기초가 더 엄격해지고 초한수이론(超限數理論)이 확립된 19세기에 이르러 완전히 설명되었다.

다각수와 다른 형상적 수

이 수는 15세기 산술책에 나타나 있고 고대 중국에도 알려진 것 같지만 고대 그리스 수학자들이 특별한 관심을 가졌다.

이 수는 모든 것이 숫자로 설명될 수 있다고 믿는 피타고라스 학파에게 특히 중요했고, 그들은 수가 '모양'을 가졌다는 사실을 알았다. 자연수의 제곱수는 점들의 사각형 배열로 나타낼 수 있으며(그림1), 직사각형수(2, 6, 12, ……)는 임의의 삼각형수를 2배하여 만들 수 있다(그림2). 노몬(gnomon)은 모든 홀수를 포함하며, 직각자 모양으로 나타낼 수 있다(그림3). 더 작은 직각자 모양에 노몬을 더하여 제곱수를 만들 수 있으며, 실제로 피타고라스는 이러한 성질을 이용해 a²＋b²=c²을 발견했을 가능성이 매우 크다.

즉 어떤 홀수 제곱에 어떤 짝수 제곱을 더하면 다시 어떤 수의 제곱이 된다. 예를 들면 3²＋4²=5² (이때 3²=4＋5), 5²＋12²=13² (이때 5²=12＋13)이다(피타고라스의 정리).

다각수는 형상적 수의 일부를 이룬다.

예를 들면 등차수열 1, 2, 3, ……, r와 1, 3, 5, ……, (2r－1)이 있다. 여기에서 바로 앞의 항까지를 더해 새로운 수열을 만들면 1, 3, 6, 10, ……과 1, 4, 9, 16, ……이 되는데, 이것은 등차수열이 아니고 다각의 삼각형수와 제곱수이다. 이런 수들의 중요성은 현대의 수론과 관련이 있다. 수들의 단순하고 기본적인 성질 및 관계도 때로는 정교한 수학적 기술을 필요로 한다. 따라서 모든 자연수는 3각수이거나 2 또는 3개의 3각수의 합이라는 것이 보여졌다.

피타고라스 3수

이것은 a²＋b²=c²을 만족시키는 3개의 자연수를 말하며, 이것을 만드는 공식은 a=p²－q², b=2pq, c=p²＋q²이다(피타고라스의 수). 이때 p, q는 서로소이고 하나가 짝수이면 다른 하나는 홀수이며 p＞q이다.

또한 n이 임의의 자연수일 때 2n＋1, 2n²＋2n, 2n²＋2n＋1은 피타고라스 3수를 이룬다.

완전수와 메르센 수

완전수란 그 자신의 약수들의 합과 같은 정수이며, 6(=1＋2＋3), 28(=1＋2＋4＋7＋14), 496, 8,128 등이다.

유클리드는 2ⁿ－1이 소수(素數)일 때 2^n－1 (2ⁿ－1) 꼴이 완전수가 됨을 제안했으며, 18세기 레온하르트 오일러는 모든 짝수 완전수는 반드시 2^n－1 (2ⁿ－1) 꼴임을 증명(물론 2ⁿ－1이 소수일 때임)했다. 2ⁿ－1 꼴의 수를 메르센 수라고 하는데, 2ⁿ－1이 소수이면 n도 역시 소수가 된다.

따라서 모든 짝수 완전수는 2^n－1 (2ⁿ－1) 꼴을 가지며, 이때 n과 2ⁿ－1은 모두 소수이다. 1989년까지 30개 이상의 완전수가 알려졌지만, '홀수 완전수가 있는가'와 '완전수가 무한개인가' 하는 문제가 미해결로 남아 있다.

피보나치 수

일반적으로 x_n=x_n－1＋x_n－2를 만족시키는 수를 말하며 1, 2, 3, 5, 8, 13, ……이 그 예이다.

이 수의 많은 성질 중 하나는 x_n＋1·x_n－1=xn²＋(－1)_n이다. 뤼카에 의한 이 수를 만들어내는 또다른 공식은 다음과 같다.

이때 (√5＋1) : 2=1.618……을 황금수라고 한다.

어떤 선분을 둘로 나누어 각 선분의 길이를 각각 a, b(a＜b)라 할 때 a/b=b/(a＋b)를 만족시키면 이를 황금분할이라 하는데, x=b/a라 놓으면 위 식은 x²－x－1=0이 되고 이것의 해가 황금수와 그 수의 역수이다.

황금수를 계속 곱하면 다음과 같은 꼴이 된다.

이때 n이 피보나치 수이고 m은 뤼카 수열(즉 1, 3, 4, 7, ……)이다.

뤼카 수열은 피보나치 수열의 점화식 x_n=x_n－1＋x_n－2를 만족한다.