연산의 성질

일반적으로 수학에서, 수들이 서로 결합하는 방법을 결정하는 연산의 성질이 있다. ‘닫혀 있다(closure)’는 것은 수들이 서로 어떻게 결합하는지를 보여주는 연산의 성질이다. 특히 음의 두 정수를 더할 때 그 합은 음이 아닌 정수가 된다. 곱셈에 대한 성질로서의 ‘닫혀 있다’는 음이 아닌 두 정수를 곱할 때 그 결과가 음이 아닌 정수가 되는 것을 말한다.

결합법칙은 3개의 양을 주어진 연산에 대하여 계산할 때 2개의 양을 먼저 결합하여 계산할 경우 처음에 결합하는 2개의 양을 임의로 선택하는 것을 말한다. 예를 들어 3, 4, 5를 더할 때, (3＋4)＋5＝12 또는 3＋(4＋5)＝12와 같이 결합하여 계산할 수 있다는 것을 의미한다. 곱셈에 대하여 같은 논리를 따르면, 결합법칙은 (a×b)×c＝a×(b×c)임을 말한다. 사실 결합법칙에서 어떤 양들을 먼저 결합하여 계산할 것인지를 나타내는 괄호는 생략해도 된다. 예를 들어, 덧셈에 대한 결합법칙의 경우는 3＋4＋5＝12와 같이 나타낼 수 있고, 곱셈에 대한 결합법칙의 경우는 2×3×4＝24와 같이 나타낼 수 있다. 그러나 결합법칙이 모든 연산에서 성립하는 것은 아니다. 나눗셈이 그 좋은 예로, 앞에서 더하거나 곱한 것과 같은 방법으로 나눌 수 없다. 가령, 세 수의 나눗셈에서 두 수를 서로 다르게 묶어 먼저 계산하면 그 결과가 달라진다. 즉 (96÷12)÷4＝2는 96÷(12÷4)＝32와 같지 않다.

결합법칙과 마찬가지로 교환법칙도 수들을 계산할 때 결합하는 방법의 하나다. 특히 이 법칙은 주어진 연산에 대하여 두 양을 결합할 때, 두 양의 순서를 서로 바꾸어도 계산 결과는 같다. 예를 들어, 4와 5를 더하여 계산할 때, 4＋5＝9 또는 5＋4＝9 중 어느 것을 써도 된다. 이것은 a＋b＝b＋a로 나타낸다. 곱셈 계산에서도 a×b＝b×a 같은 규칙을 적용한다. 교환법칙 역시 모든 연산에서 성립하는 것은 아니다. 예를 들어, 뺄셈에서는 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉, 6－3＝3은 3－6＝－3과 같지 않다. 나눗셈 또한 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 6÷3＝2는 3÷6＝1/2로 같지 않다.

연산에 대한 마지막 성질은 분배법칙이다. 이 법칙에서는 임의의 두 연산에 대하여 첫 번째 연산이 두 번째 연산에 대하여 분배된다. 예를 들어, 곱셈이 덧셈에 분배되는 경우, 임의의 수 a, b, c에 대하여 a×(b＋c)＝(a×b)＋(a×c)다. 2, 3, 4에 대하여 2×(3＋4) 또는 (2×3)＋(2×4)＝14가 된다. 형식에 따라 좌분배법칙과 우분배법칙이 있으며, 위에서 설명한 분배법칙은 좌분배법칙이다. 우분배법칙은 (a＋b)×c＝(a×c)＋(b×c)를 말한다. 대부분의 경우, 두 가지 모두 분배법칙이라 한다. 분배법칙 역시 모든 연산에서 성립하는 것은 아니다. 예를 들어, a＋(b×c)≠(a＋b)×(a＋c)와 같이 곱셈에 대한 덧셈의 분배법칙은 성립하지 않는다.

반복실행(iteration)이란?
iteration은 반복을 뜻하며, 이것은 수학에서도 같은 의미로 쓰인다. 수에서 iteration은 계산한 값을 바탕으로 계산과정을 반복하는 것을 의미한다. 실제로 몇 번이고 되풀이하여 반복되는 경우들이 있다. 예를 들어, 의 값을 구하기 위해 반복실행을 이용할 수 있다. 39에 가까운 제곱수는 36이므로 구하려는 값이 36의 제곱근인 6과 가까운 수임이 틀림없다는 생각 아래, 39를 6으로 나누어 6.5를 얻는다. 그다음에는 6과 6.5의 평균을 구하여 6.25를 얻고, 다시 반복하여 39를 6.25로 나눔으로써 39/6.25＝6.24를 얻는다. 사실 39의 제곱근 값은 6.244997···이다.

반복실행은 계산기나 컴퓨터에서 자주 사용된다. 가령, 위의 예에서와 같이 39의 제곱근을 구하려고 할 때, 계산기나 컴퓨터는 소수점 아래 어떤 자리까지의 값을 구하기 위해 자동으로 반복실행을 이용한다. 어떤 계산과정에서 다루는 수들이 많으면 많을수록 반복실행을 더 많이 하게 된다. 이것이 바로 슈퍼컴퓨터에 의한 연산이 수학에서뿐만 아니라 다른 많은 과학 분야에서 큰 자산이 되고 있는 이유다.