도형의 평행이동
요약 방정식 f(x, y) = 0 이 나타내는 도형을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 것을 도형의 평행이동이라 한다.
목차
펼치기도형의 이동 : 스페인의 알함브라 궁전, 한옥의 단청 무늬, 상품의 포장지 등에서 반복되는 도형으로 평면을 빈틈없이 채운 테셀레이션 문양을 볼 수 있다. 또 인간을 비롯한 수많은 생명체와 건축물을 보면 정교하게 균형을 이루는 대칭 구조를 흔히 발견할 수 있다.
평행이동한 도형의 방정식 구하기
아래쪽 그림에서 원 C1의 방정식은 x2 + y2 = 1 이다. C1을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원 C2의 방정식을 구하여 보자.
원 C1의 중심은 (0, 0)이므로 원 C1을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원 C2의 중심은 (3, 2)이고, 반지름의 길이는 원 C1의 반지름의 길이와 같은 1이다. 따라서 원 C2의 방정식은 (x - 3)2 + (y - 2)2 = 1 이고, 원 C1의 방정식 x2 + y2 = 1 에서 x에 x - 3, y에 y - 2를 대입하면 원 C2의 방정식이 됨을 알 수 있다.
교과서 내용 정리
〈도형의 평행이동〉
원의 방정식 x2 + y2 = 4를 x2 + y2 - 4 = 0과 같이 나타낼 수 있는 것처럼 좌표평면 위의 도형의 방정식은 일반적으로 f(x, y) = 0 과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
이제 좌표평면 위에서 방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하여 보자.
방정식 f(x, y) = 0 이 나타내는 도형 위의 임의의 점 P(x, y)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 점을 P'(x', y')이라 하면 x' = x + a, y' = y + b 이므로 x = x' - a, y = y' - b 이다. 이것을 f(x, y) = 0 에 대입하면 f(x' - a, y' - b) = 0 이 성립한다. 즉 점 P'(x', y')은 방정식 f(x - a, y - b) = 0 이 나타내는 도형 위의 점이다.
따라서 방정식 f(x, y) = 0 이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 f(x - a, y - b) = 0 이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
도형의 평행이동
방정식 f(x, y) = 0 이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 f(x - a, y - b) = 0
문제를 풀기 위한 해법
원을 평행이동하면 중심의 좌표만 바뀐다.
원 x2 + y2 = r2 : ㉠ 을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 ㉠에 x대신 x - a, y대신 y - b를 대입한 것과 같다.
즉 (x - a)2 + (y - b)2 = r2 이 된다.
관련문제
- 정답
- k =
- 해설
- 원 x2 + y2 = 1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 원의 방정식은 (x - 2)2 + (y - 1)2 = 1
이 원과 직선 x + ky + 3 = 0이 접하므로 원의 중심 (2, 1)과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 1과 같다. 즉
양변을 제곱하여 정리하면 k2 + 10k + 25 = 1 + k2
10k = - 24, k =
⑵ x + 2y - 3 = 0
⑶ (x - 1)2 + (y + 5)2 = 4
⑷ y = 3x2 - x + 2
- 정답
- ⑴ y = 3x - 9
⑵ x + 2y - 3 = 0
⑶ (x - 3)2 + (y + 6)2 = 4
⑷ y = 3x2 - 13x + 15 - 해설
- 평행이동 (x, y) → (x + 2, y - 1)은 방정식 f(x, y) = 0 이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 - 1만큼 평행이동한 것이다. 따라서 x대신에 x - 2, y대신에 y + 1 을 대입하면
⑴ y + 1 = 3(x - 2) - 2, 즉 y = 3x - 9
⑵ x - 2 + 2(y + 1) - 3 = 0, 즉 x + 2y - 3 = 0
⑶ (x - 2 - 1)2 + (y + 1 + 5)2 = 4, 즉 (x - 3)2 + (y + 6)2 = 4
⑷ y + 1 = 3(x - 2)2 - (x - 2) + 2, 즉 y = 3x2 - 13x + 15