점의 평행이동

점의 평행이동

요약 좌표평면 위의 한 점 (x, y)가 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 것을 점의 평행이동이라 한다.

목차

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1. 1.생활 속 점의 평행이동
2. 2.교과서 내용 정리
3. 3.문제를 풀기 위한 해법 (1)
4. 4.문제를 풀기 위한 해법 (2)

도형의 이동 : 스페인의 알함브라 궁전, 한옥의 단청 무늬, 상품의 포장지 등에서 반복되는 도형으로 평면을 빈틈없이 채운 테셀레이션 문양을 볼 수 있다. 또 인간을 비롯한 수많은 생명체와 건축물을 보면 정교하게 균형을 이루는 대칭 구조를 흔히 발견할 수 있다.

생활 속 점의 평행이동

아래쪽 그림과 같은 클로버 모양 위의 점 A를 점 A'과 겹치게 평행이동하려고 한다.
이때 점 A의 좌표를 말하고, 점 A'은 점 A를 x축의 방향과 y축의 방향으로 각각 얼마만큼씩 평행이동한 것인지 알아보자.

점A의 좌표는 (2, 3)이고, 점 A'의 좌표는 (6, 6)이다.
따라서 점 A'은 점 A를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것임을 알 수 있다.

교과서 내용 정리

〈점의 평행이동〉

한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것을 평행이동이라 한다.

문제를 풀기 위한 해법 (1)

평행이동한 점의 좌표는 평행이동한 만큼 더한다.

좌표평면 위의 한 점 P(x, y)를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점을 P'이라 하면, 점 P'의 좌표는 다음과 같이 구한다.

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문제를 풀기 위한 해법 (2)

직선의 평행이동이면 직선 위의 모든 점을 평행이동한 것이다!

도형 f(x, y) = 0 을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 f(x - a, y - b) = 0 이다.
예를 들어 직선 y = mx + n : ㉠ 을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 ㉠에 x 대신 x - a, y 대신 y - b를 대입한 것과 같다.
즉 y = mx + n 은 y - b = m(x - a) + n 이 된다.

관련문제

1.다음 각 점을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 점의 좌표를 구하여라.

⑴ (-1, 3)
⑵ (2, 4)

정답 및 해설

정답

x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동하므로 (x, y) → (x+3, y+2)로 옮겨진다.
⑴ 점 (-1, 3)은 점 (-1+3, 3+2), 즉 점 (2, 5)로 옮겨진다.
⑵ 점 (2, 4)는 점 (2+3, 4+2), 즉 점 (5, 6)으로 옮겨진다.

2.다음 방정식이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하여라.

⑴ 2x - y + 3 = 0
⑵ (x - 2)² + (y + 1)² = 9

정답 및 해설

정답

⑴ 방정식 2x - y + 3 = 0 에 x 대신 x + 2, y 대신 y - 3을 대입하면 2(x + 2) - (y - 3) + 3 = 0, 즉 2x - y + 10 = 0
⑵ 방정식 (x - 2)² + (y + 1)² = 9 에 x 대신 x + 2, y 대신 y - 3 을 대입하면 (x + 2 - 2)² + (y - 3 + 1)² = 9, 즉 x² + (y - 2)² = 9

각주

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