삼각함수 (Trigonometric functions)

사는 이야기/수학사전

삼각함수 (Trigonometric functions)

후암동남산 2016. 4. 11. 21:13

수학에서,

삼각함수(三角函數, 영어: trigonometric function)는 직각삼각형의 각을 직각삼각형의 변들의 길이의 비로 나타내는 함수이다.

이는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다.

가장 근본적인 주기함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.

삼각함수에는 3개의 기본 함수가 있으며,

이들은 사인(영어: sine, 기호 sin) · 코사인( 영어: cosine, 기호 cos) · 탄젠트(영어: tangent, 기호 tan)라고 한다.

이들의 역수는 각각 코시컨트(영어: cosecant, 기호 csc) · 시컨트(영어: secant, 기호 sec) · 코탄젠트(영어: cotangent, 기호 cot)라고 한다.

기하학적 정의

직각삼각형

각 C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 $a, b, h$ 라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.

사인:

\sin A = \frac{a}{h}

코사인:

\cos A = \frac{b}{h}

탄젠트:

\tan A = \frac{a}{b}

또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트:

\csc A = \frac{h}{a} = \frac{1}{\sin A}

시컨트:

\sec A = \frac{h}{b} = \frac{1}{\cos A}

코탄젠트:

\cot A = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan A}

단위원 정의

삼각 함수

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 $(x, y)$ 에 대해, $x$ 축과 점과 원점을 잇는 직선간의 각을 $\theta$ 라디안이라고 하면, 이때 사인, 코사인은 다음과 같이 정의된다.

\sin \theta = y

\cos \theta = x

또한, 나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

복소 삼각 함수

오일러의 공식 $\, e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 에

$\, x=b i$ 를 대입하면,

\, e^{-b}=\cos bi+i\sin bi

$\, x=-bi$ 를 대입하면,

\, e^{b}=\cos (-bi)+i\sin (-bi)=\cos bi-i\sin bi

연립하여 풀면,

\cos bi =\frac{e^{b}+e^{-b}}{2}=\cosh b

\sin bi =\frac{e^{b}-e^{-b}}{2}i=i\sinh b

성질

주기성과 특이점

사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 $2\pi$ 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 $z\in\mathbb C$ 에 대하여,

\sin z=\sin(z+2\pi)

\cos z=\cos(z+2\pi)

\csc z=\csc(z+2\pi)

\sec z=\sec(z+2\pi)

탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 $\pi$ 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 $z\in\mathbb C$ 에 대하여,

\tan z=\tan(z+\pi)

\cot z=\cot(z+\pi)

사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 $\hat{\infty}$ 에서 본질적 특이점을 갖는다.

탄젠트는 실수선의 $\pi/2+n\pi$ ( $n\in\mathbb Z$ )에서 정의되지 않는다.


사인과 코사인의 그래프		탄젠트 그래프		코시컨트 그래프

특별한 값

단위원 위의 각 점의 좌표

특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.

각	사인	코사인	탄젠트
$0$ (0˚)	$0$	$1$	$0$
$\pi/6$ (30˚)	$1/2$	$\sqrt3/2$	$1/\sqrt3$
$\pi/4$ (45˚)	$\sqrt2/2$	$\sqrt2/2$	$1$
$\pi/3$ (60˚)	$\sqrt3/2$	$1/2$	$\sqrt3$
$\pi/2$ (90˚)	$1$	$0$	$\infty$

부호

각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.

사분면	sin과 csc	cos과 sec	tan와 cot
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

항등식

이 부분의 본문은 삼각함수 항등식입니다.

삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 r이고 밑변이 b, 각 x의 대변 a에 대하여 $\frac{a^2+b^2}{r^2}=\frac{r^2}{r^2}=1$ 를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.

\, \sin^2 x + \cos^2 x = 1

다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제이 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제일 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

\sin \left(x \pm y\right)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y, \,

\cos \left(x \pm y\right)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y

(복부호 동순)

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin	$\sin x$	$\sqrt{1-\cos^2x}$	$(\tan x)/\sqrt{1 + \tan^2x}$	$1/\sqrt{\cot^2x + 1}$	$\sqrt{\sec^2(x)-1}/(\sec x)$	$1/(\csc x)$
cos	$\sqrt{1-\sin^2x}$	$\cos x$	$1/\sqrt{1 + \tan^2(x)}$	$(\cot x)/\sqrt{\cot^2x+ 1}$	$1/(\sec x)$	$\sqrt{\csc^2x-1}/(\csc x)$
tan	$(\sin x)/\sqrt{1-\sin^2 x}$	$\sqrt{1-\cos^2x}/(\cos x)$	$\tan x$	$1/(\cot x)$	$\sqrt{\sec^2x-1}$	$1/\sqrt{\csc^2x-1}$
cot	$\sqrt{1-\sin^2x}/(\sin x)$	$(\cos x)/\sqrt{1-\cos^2x}$	$1/(\tan x)$	$\cot(x)$	$1/\sqrt{\sec^2x-1}$	$\sqrt{\csc^2x-1}$
sec	$1/\sqrt{1-\sin^2x}$	$1/(\cos x)$	$\sqrt{1 + \tan^2 x}$	$\sqrt{\cot^2x + 1}/(\cot x)$	$\sec x$	$(\csc x)/\sqrt{\csc^2(x)-1}$
csc	$1/(\sin x)$	$1/\sqrt{1 - \cos^2x}$	$\sqrt{1 + \tan^2 x}/(\tan x)$	$\sqrt{\cot^2x + 1}$	$(\sec x)/\sqrt{\sec^2x - 1}$	$\csc x$

미분과 적분

삼각함수의 미분과 적분에 대해서는 미분표, 적분표를 참고하십시오.

다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

함수 $f(x)$	도함수 $f'(x)$	부정적분 $\textstyle\int f(x)\,dx$
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x + C$
$\tan x$	$\sec^2 x$	$-\ln \left \|\cos x\right \| + C$
$\cot x$	$-\csc^{2} x$	$\ln \left \|\sin x\right \| + C$
$\sec x$	$\sec{x}\tan{x}$	$\ln \left \|\sec x + \tan x\right \| + C$
$\csc x$	$-\csc{x}\cot{x}$	$\ln \left \|\csc x - \cot x\right \| + C$

삼각형의 성질

사인 법칙

이 부분의 본문은 사인법칙입니다.

사인법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

마찬가지로,

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}=2R

도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

코사인 법칙

이 부분의 본문은 코사인법칙입니다.

코사인법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

코사인 제 1 법칙에 따르면,

\, c=b\cos A + a\cos B

앙변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

\, c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

가 성립하고, 위의 식을 변형하면

\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

탄젠트 법칙

탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan{{1 \over 2}(A+B)}}{\tan{{1 \over 2}(A-B)}}

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