상반방정식

상반방정식

[ reciprocal equation , 相反方程式 ]

x에 관한 n차의 방정식의 x의 r제곱의 계수와 n-r제곱의 계수가 같은 방정식이다. 이를테면, ax2＋(b－a)x＋a＝0은 상반방정식이다.

역수방정식(逆數方程式)이라고도 한다. x에 관한 n차의 방정식에서 r차항 x^r의 계수와 n－r차항 x^n-r의 계수가 같은 방정식이다. 즉, a₀xⁿ＋a₁x^n-1＋a₂x^n-2＋…＋a₂x²＋a₁x＋a₀＝0 인 꼴의 방정식을 말한다. 상반방정식에서는 x＝α가 근이면 x＝1/α도 근이다. n이 홀수(홀수차의 상반방정식)이면, 반드시 x=－1을 가진다. 그러므로 x＋1로 나누어 짝수차인 상반방정식을 만들 수 있다.

이를테면, 3차 상반방정식 ax³＋bx²＋bx＋a＝0은 (x＋1){ax²＋(b－a)x＋a}=0 으로 변형되고, ax²＋(b－a)x＋a＝0은 짝수차의 상반방정식이다. 짝수차의 상반방정식은 양변을 x²으로 나누어 X=x＋1/x로 놓아 X에 대한 방정식을 만들어 풀 수 있다. 이를테면, 4차 상반방정식 ax⁴＋bx³＋cx²＋bx＋a=0의 양변을 x²으로 나누면,

       

여기서 x＋1/x=X라면, aX²＋bX＋c－2a=0이다. 이 방정식의 근 X를 구하면, x²－Xx ＋1=0에서

       

로 x를 구할 수 있다.

[출처] 상반방정식 | 두산백과