상반방정식
[ reciprocal equation , 相反方程式 ]- x에 관한 n차의 방정식의 x의 r제곱의 계수와 n-r제곱의 계수가 같은 방정식이다. 이를테면, ax2+(b-a)x+a=0은 상반방정식이다.
역수방정식(逆數方程式)이라고도 한다. x에 관한 n차의 방정식에서 r차항 xr의 계수와 n-r차항 xn-r의 계수가 같은 방정식이다. 즉, a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+a2x2+a1x+a0=0 인 꼴의 방정식을 말한다. 상반방정식에서는 x=α가 근이면 x=1/α도 근이다. n이 홀수(홀수차의 상반방정식)이면, 반드시 x=-1을 가진다. 그러므로 x+1로 나누어 짝수차인 상반방정식을 만들 수 있다.
이를테면, 3차 상반방정식 ax3+bx2+bx+a=0은 (x+1){ax2+(b-a)x+a}=0 으로 변형되고, ax2+(b-a)x+a=0은 짝수차의 상반방정식이다. 짝수차의 상반방정식은 양변을 x2으로 나누어 X=x+1/x로 놓아 X에 대한 방정식을 만들어 풀 수 있다. 이를테면, 4차 상반방정식 ax4+bx3+cx2+bx+a=0의 양변을 x2으로 나누면,
여기서 x+1/x=X라면, aX2+bX+c-2a=0이다. 이 방정식의 근 X를 구하면, x2-Xx +1=0에서
로 x를 구할 수 있다.
[출처] 상반방정식 | 두산백과