마방진(魔方陳)이란 ?

마방진(魔方陳)이란 ?

 마방진의 '方'자는 정사각형, '陳'은 나열한다는 뜻이다. 즉, 마방진은 가로, 세로 nxn칸에 1부터 n의 제곱 까지의 자연수열을 한번씩 써 넣어 행과, 열, 대각선의 각 방향의 합이 모두 같도록 만든 정방행렬을 말한다. 각 줄의 합은 수학적으로 풀어보면 n(n²+1)/2 가 되어야 합니다

  마방진의 유래

 옛날 사람들은 이와 같은 것에 신비로움을 느껴 때로는 마귀를 쫓는 부적으로도 사용하게 되었고, 서양에서도 매직스퀘어(Magic Square)란 용어가 사용되었다.

 마방진의 기원은 분명하지는 않으나 약 3000년 전 중국의 우(禹)나라의 우왕이 강의 치수공사를 하던 중에 물 속에서 나온 거북이 등에 있는 무뉘를 보고 처음으로 생각해 내었다고 한다. 그 후 바방진은 신비한 전설과 같이 인도, 페리시아, 아라비아 상인들에 의해 서아시아, 남아시아, 유럽으로 전해졌다.

홀수×홀수 마방진 만드는 방법

먼저 맨 위쪽 가운데에 1을 적습니다.

		1

오른쪽으로 한 칸, 위로 한 칸 올라가서 다음 숫자를 적습니다. 만약 방진을 벗어나면 방진의 상하와 좌우가 맞붙어 있다고 생각하고 숫자를 적습니다.

			2
		1
			2

이렇게 5까지 적으면

		1
	5
4
				3
			2

6을 채워 넣어야 할 칸에는 이미 1이 있군요. 이런 경우에는 그냥 아래쪽으로 한 칸 가서 숫자를 적습니다.

		1
	5
4	6
				3
			2

이 과정을 반복합니다.

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

4의 배수×4의 배수 마방진 만드는 방법

8×8마방진을 예를 들어 설명하겠습니다.

먼저, 칸을 4×4짜리로 쪼갭니다.

이제 칸에다 아래와 같이 X표를 합니다.(외울 수 있으시면 안하셔도 좋습니다)

X			X	X			X
	X	X			X	X
	X	X			X	X
X			X	X			X
X			X	X			X
	X	X			X	X
	X	X			X	X
X			X	X			X

왼쪽 위에서부터 차례대로 숫자를 넣되, X표가 있는 칸은 숫자를 쓰지 않습니다.

X	2	3	X	X	6	7	X
9	X	X	12	13	X	X	16
17	X	X	20	21	X	X	24
X	26	27	X	X	30	31	X
X	34	35	X	X	38	39	X
41	X	X	44	45	X	X	48
49	X	X	52	53	X	X	56
X	58	59	X	X	62	63	X

이제 X표를 지우고 오른쪽 아래부터 차례대로 숫자를 넣되, 이미 숫자가 쓰여 있는 칸에는 숫자를 쓰지 않습니다.

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

4의 배수가 아닌 짝수×4의 배수가 아닌 짝수

마방진 만드는 법

14×14마방진을 예로 들어서 설명하겠습니다.

n을 4의 배수가 아닌 짝수라 할 때, 먼저 홀수×홀수 마방진 그리는 법을 이용하여

n/2×n/2마방진을 만듭니다.(그러니까 7×7마방진)

30	39	48	1	10	19	28
38	47	7	9	18	27	29
46	6	8	17	26	35	37
5	14	16	25	34	36	45
13	15	24	33	42	44	4
21	23	32	41	43	3	12
22	31	40	49	2	11	20

n×n마방진을 n/2×n/2마방진 4개로 쪼갭니다.(아래는 14×14마방진을 7×7 마방진 4개로 쪼갠 경우이며, 숫자 채워 넣는 방법은 아래에 나옵니다)

이제부터가 진짜 중요합니다.

먼저, 왼쪽 위 마방진을 봅시다.

[x]는 x를 넘지 않는 최대정수라 할 때, (예)[4.2]=4, [16.779]=16

각 행에 [n/4]개의 3을 왼쪽부터 써 넣되, [n/4]+1번 행은 0 하나를 채워 넣고 시작합니다.

여기서는 [14/4]=3이므로 각 행에 3개의 3을 채워 넣고, [14/4]+1=4번째 줄은 0 하나로 시작한 것입니다.

그리고 3이 쓰여 있지 않는 칸은 0으로 채웁니다.

이제 오른쪽 위 마방진을 볼까요?

각 행에 [n/4-1]개의 1을 오른쪽부터 써 넣고, 1이 쓰여 있지 않은 칸은 2로 채웁니다.

주의) n/4-1은 n/4에 1을 뺀 것입니다.

여기서는 [14/4-1]=2개의 1을 오른쪽에서부터 채운 것이지요.

아래 절반은 위 절반에서 0과 3, 1과 2를 맞바꾼 것입니다.

이제 이 마방진에 n×n/4를 곱합니다. (여기서는 14×14/4=49를 곱합니다)

앞에서 만든 n/2×n/2마방진을 구분된 네 격자에 각각 더하면 n×n마방진이 완성됩니다.

177	186	195	1	10	19	28	128	137	146	99	108	68	77
185	194	154	9	18	27	29	36	145	105	107	116	76	78
193	153	155	17	26	35	37	144	104	106	115	124	84	86
5	161	163	172	34	36	45	103	112	114	123	132	85	94
160	162	171	33	42	44	4	111	113	122	131	140	93	53
168	170	179	41	43	3	12	119	121	130	139	141	52	61
169	178	187	49	2	11	20	120	129	138	147	100	60	69
30	39	48	148	157	166	175	77	86	95	48	57	117	126
38	47	7	156	165	174	176	85	94	54	56	65	125	127
46	6	8	164	173	182	184	93	53	55	64	73	133	135
152	14	16	25	181	183	192	52	61	63	72	81	134	143
13	15	24	180	189	191	151	60	62	71	80	89	142	102
21	23	32	188	190	150	159	68	70	79	88	90	101	110
22	31	40	196	149	158	167	69	78	87	96	51	109	118

이 방법으로 6×6마방진도 만들어 보겠습니다.

8	1	6
3	5	7
4	9	2

먼저, 3×3마방진,

3	0	0	2	2	2
0	3	0	2	2	2
3	0	0	2	2	2
0	3	3	1	1	1
3	0	3	1	1	1
0	3	3	1	1	1

왼쪽부터 [6/4]=1개의 3, [6/4+1]=2번째 줄은 0 하나로 시작, 오른쪽부터 [6/4-1]=0개의 1, 아래 절반은 위 절반에서 0과 3, 1과 2를 바꾼 것.

여기에 6×6/4 즉 9를 곱하면

27	0	0	18	18	18
0	27	0	18	18	18
27	0	0	18	18	18
0	27	27	9	9	9
27	0	27	9	9	9
0	27	27	9	9	9

이제 여기에 3×3마방진을 더하면

35	1	6	26	19	24
3	33	7	21	23	25
31	9	2	22	27	20
8	28	33	17	10	15
30	5	34	12	14	16
4	36	29	13	18	11