마방진(魔方陳)이란 ?
마방진의 '方'자는 정사각형, '陳'은 나열한다는 뜻이다. 즉, 마방진은 가로, 세로 nxn칸에 1부터 n의 제곱 까지의 자연수열을 한번씩 써 넣어 행과, 열, 대각선의 각 방향의 합이 모두 같도록 만든 정방행렬을 말한다. 각 줄의 합은 수학적으로 풀어보면 n(n2+1)/2 가 되어야 합니다
마방진의 유래
옛날 사람들은 이와 같은 것에 신비로움을 느껴 때로는 마귀를 쫓는 부적으로도 사용하게 되었고, 서양에서도 매직스퀘어(Magic Square)란 용어가 사용되었다.
마방진의 기원은 분명하지는 않으나 약 3000년 전 중국의 우(禹)나라의 우왕이 강의 치수공사를 하던 중에 물 속에서 나온 거북이 등에 있는 무뉘를 보고 처음으로 생각해 내었다고 한다. 그 후 바방진은 신비한 전설과 같이 인도, 페리시아, 아라비아 상인들에 의해 서아시아, 남아시아, 유럽으로 전해졌다.
홀수×홀수 마방진 만드는 방법
먼저 맨 위쪽 가운데에 1을 적습니다.
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오른쪽으로 한 칸, 위로 한 칸 올라가서 다음 숫자를 적습니다. 만약 방진을 벗어나면 방진의 상하와 좌우가 맞붙어 있다고 생각하고 숫자를 적습니다.
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2 |
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1 |
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2 |
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이렇게 5까지 적으면
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1 |
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5 |
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4 |
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3 |
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2 |
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6을 채워 넣어야 할 칸에는 이미 1이 있군요. 이런 경우에는 그냥 아래쪽으로 한 칸 가서 숫자를 적습니다.
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1 |
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5 |
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4 |
6 |
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3 |
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2 |
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이 과정을 반복합니다.
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1 |
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4 |
6 |
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3 |
11 |
18 |
25 |
2 |
9 |
4의 배수×4의 배수 마방진 만드는 방법
8×8마방진을 예를 들어 설명하겠습니다.
먼저, 칸을 4×4짜리로 쪼갭니다.
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이제 칸에다 아래와 같이 X표를 합니다.(외울 수 있으시면 안하셔도 좋습니다)
X |
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X |
X |
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X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
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X |
X |
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X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
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X |
X |
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X |
왼쪽 위에서부터 차례대로 숫자를 넣되, X표가 있는 칸은 숫자를 쓰지 않습니다.
X |
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3 |
X |
X |
6 |
7 |
X |
9 |
X |
X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
41 |
X |
X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
X |
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X |
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X |
X |
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63 |
X |
이제 X표를 지우고 오른쪽 아래부터 차례대로 숫자를 넣되, 이미 숫자가 쓰여 있는 칸에는 숫자를 쓰지 않습니다.
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2 |
3 |
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6 |
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8 |
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5 |
4 |
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63 |
1 |
4의 배수가 아닌 짝수×4의 배수가 아닌 짝수
마방진 만드는 법
14×14마방진을 예로 들어서 설명하겠습니다.
n을 4의 배수가 아닌 짝수라 할 때, 먼저 홀수×홀수 마방진 그리는 법을 이용하여
n/2×n/2마방진을 만듭니다.(그러니까 7×7마방진)
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1 |
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7 |
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6 |
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5 |
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4 |
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3 |
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2 |
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20 |
n×n마방진을 n/2×n/2마방진 4개로 쪼갭니다.(아래는 14×14마방진을 7×7 마방진 4개로 쪼갠 경우이며, 숫자 채워 넣는 방법은 아래에 나옵니다)
이제부터가 진짜 중요합니다.
먼저, 왼쪽 위 마방진을 봅시다.
[x]는 x를 넘지 않는 최대정수라 할 때, (예)[4.2]=4, [16.779]=16
각 행에 [n/4]개의 3을 왼쪽부터 써 넣되, [n/4]+1번 행은 0 하나를 채워 넣고 시작합니다.
여기서는 [14/4]=3이므로 각 행에 3개의 3을 채워 넣고, [14/4]+1=4번째 줄은 0 하나로 시작한 것입니다.
그리고 3이 쓰여 있지 않는 칸은 0으로 채웁니다.
이제 오른쪽 위 마방진을 볼까요?
각 행에 [n/4-1]개의 1을 오른쪽부터 써 넣고, 1이 쓰여 있지 않은 칸은 2로 채웁니다.
주의) n/4-1은 n/4에 1을 뺀 것입니다.
여기서는 [14/4-1]=2개의 1을 오른쪽에서부터 채운 것이지요.
아래 절반은 위 절반에서 0과 3, 1과 2를 맞바꾼 것입니다.
이제 이 마방진에 n×n/4를 곱합니다. (여기서는 14×14/4=49를 곱합니다)
앞에서 만든 n/2×n/2마방진을 구분된 네 격자에 각각 더하면 n×n마방진이 완성됩니다.
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1 |
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137 |
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9 |
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116 |
76 |
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17 |
26 |
35 |
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115 |
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84 |
86 |
5 |
161 |
163 |
172 |
34 |
36 |
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103 |
112 |
114 |
123 |
132 |
85 |
94 |
160 |
162 |
171 |
33 |
42 |
44 |
4 |
111 |
113 |
122 |
131 |
140 |
93 |
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168 |
170 |
179 |
41 |
43 |
3 |
12 |
119 |
121 |
130 |
139 |
141 |
52 |
61 |
169 |
178 |
187 |
49 |
2 |
11 |
20 |
120 |
129 |
138 |
147 |
100 |
60 |
69 |
30 |
39 |
48 |
148 |
157 |
166 |
175 |
77 |
86 |
95 |
48 |
57 |
117 |
126 |
38 |
47 |
7 |
156 |
165 |
174 |
176 |
85 |
94 |
54 |
56 |
65 |
125 |
127 |
46 |
6 |
8 |
164 |
173 |
182 |
184 |
93 |
53 |
55 |
64 |
73 |
133 |
135 |
152 |
14 |
16 |
25 |
181 |
183 |
192 |
52 |
61 |
63 |
72 |
81 |
134 |
143 |
13 |
15 |
24 |
180 |
189 |
191 |
151 |
60 |
62 |
71 |
80 |
89 |
142 |
102 |
21 |
23 |
32 |
188 |
190 |
150 |
159 |
68 |
70 |
79 |
88 |
90 |
101 |
110 |
22 |
31 |
40 |
196 |
149 |
158 |
167 |
69 |
78 |
87 |
96 |
51 |
109 |
118 |
이 방법으로 6×6마방진도 만들어 보겠습니다.
8 |
1 |
6 |
3 |
5 |
7 |
4 |
9 |
2 |
3 |
0 |
0 |
2 |
2 |
2 |
0 |
3 |
0 |
2 |
2 |
2 |
3 |
0 |
0 |
2 |
2 |
2 |
0 |
3 |
3 |
1 |
1 |
1 |
3 |
0 |
3 |
1 |
1 |
1 |
0 |
3 |
3 |
1 |
1 |
1 |
왼쪽부터 [6/4]=1개의 3, [6/4+1]=2번째 줄은 0 하나로 시작, 오른쪽부터 [6/4-1]=0개의 1, 아래 절반은 위 절반에서 0과 3, 1과 2를 바꾼 것.
여기에 6×6/4 즉 9를 곱하면
27 |
0 |
0 |
18 |
18 |
18 |
0 |
27 |
0 |
18 |
18 |
18 |
27 |
0 |
0 |
18 |
18 |
18 |
0 |
27 |
27 |
9 |
9 |
9 |
27 |
0 |
27 |
9 |
9 |
9 |
0 |
27 |
27 |
9 |
9 |
9 |
이제 여기에 3×3마방진을 더하면
35 |
1 |
6 |
26 |
19 |
24 |
3 |
33 |
7 |
21 |
23 |
25 |
31 |
9 |
2 |
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27 |
20 |
8 |
28 |
33 |
17 |
10 |
15 |
30 |
5 |
34 |
12 |
14 |
16 |
4 |
36 |
29 |
13 |
18 |
11 |